Ressources

Recommandations de livres

Lorsqu’on vient d’une petite université, il faut savoir travailler en autonomie. Voici une liste de livres et PDFs qui m’ont été utiles pour m’initier à des domaines variés en licence et en master :

• Théorie de Galois : Théorie de Galois - Escofier,
  Corps commutatifs et théorie de Galois - Tauvel.

• Géométrie différentielle : Introduction aux variétés différentielles - Lafontaine,
  Géométrie différentielle élémentaire - Paulin.

• Topologie algébrique : Topologie algébrique élémentaire - Paulin,
  Topologie : Revêtements et groupe fondamental - Audin.

• Géométrie complexe : Introduction to complex manifolds - Lee.

• Géométrie Riemannienne : Introduction to riemannian manifolds - Lee.

• Analyse harmonique : Principles of harmonic analysis - Deitmar & Echterhoff.

• Algèbres d’opérateurs : \(\mathrm{C}^*\)-algebras by example - Davidson,
  \(\mathrm{C}^*\)-algebras and operator theory - Murphy,
  An introduction to \(\mathrm{II}_1\) factors - Anantharaman & Popa.

• Théorie de Lie : Lie groups, Lie algebras, and representations - Hall,
  Representations of compact Lie groups - Bröcker & tom Dieck,
  Introduction to Lie algebras and representation theory - Humphreys.

L’agrégation

J’ai été reçu 4ème à l’agrégation externe de mathématiques en 2025, voici quelques ressources qui pourraient vous aider durant la préparation des oraux.

En faisant l’impasse sur les leçons 149, 162, 220 et 221, il m’a suffit de travailler les 33 développements suivants pour couvrir toutes les leçons :

Cliquez pour afficher la liste.

• \(26\) est le seul entier entre un carré et un cube : 122, 127, 142.
• Construction des corps finis : 120, 121, 123, 141, 144.
• \(A_5\) est le seul groupe simple d’ordre \(60\) : 101, 103, 104, 105.
• Enveloppe convexe de \(\mathrm{O}(n,\mathbb R)\) : 158, 159, 161, 181, 191.
• Homéomorphisme entre \(\mathcal S_n\) et \(\mathcal S_n^{++}\) : 106, 152, 153, 155, 157, 158.
• Critère de cyclicité de \({\mathbb Z/n\mathbb Z}^*\) : 108, 120, 121.
• Forme normale de Smith : 122, 142.
• Isométries du tétraèdre et du cube : 104, 105, 108, 161.
• Lemme des noyaux et décomposition de Dunford : 150, 151, 156.
• Théorème de Wantzel : 125, 127, 148, 191.
• Petits sous-groupes de \(\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\) : 102, 152, 153, 155.
• Nombre de polynômes irréductibles sur un corps fini : 123, 125, 141, 190.
• Forme de Hankel : 144, 148, 170, 171.
• Réduction de Jordan par la dualité : 150, 151, 156, 159.
• Théorème de Wedderburn : 101, 102, 103.
• Décomposition polaire de \(\mathrm{O}(p,q)\) : 170, 171.
• Base hilbertienne de polynômes orthogonaux : 201, 209, 213, 234, 239, 245, 250.
• \(\mathbb C^*\) n’est pas simplement connexe : 203, 204, 245.
• Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire : 205, 206, 226.
• Convexité des fonctions différentiables : 218, 229, 253.
• Divergence de la série des \(\frac{1}{p}\) : 121, 230, 261, 264.
• Inégalité de Hoeffding : 262, 266.
• Isomorphisme entre \(\mathrm{SO}(1,2)\) et \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\) : 204, 214, 215.
• Méthode de Newton : 218, 223, 224, 226, 228, 229.
• Nombres de Bell : 190, 243.
• Projection sur un convexe fermé : 205, 208, 213, 219, 253.
• Formule de Stirling par le théorème central limite : 223, 224, 235, 261, 262, 264, 266.
• Injectivité de la transformée de Fourier sur \(L^1(\mathbb R)\) : 236, 250.
• Théorèmes d’Abel et Taubérien faible : 230, 235, 241, 243.
• Théorème de Kakutani : 106, 157, 181, 203, 208.
• Théorème de Weierstrass par la convolution : 201, 209, 228, 234, 239, 241, 246.
• Théorème des extrema liés : 206, 214, 215, 219.
• Intégrale de Fresnel : 236, 246.

Les développements complets sont disponibles ici.

Une sélection de plans que j’ai rédigés :

• Leçon 103.
• Leçon 159.
• Leçon 215.
• Leçon 230.
• Leçon 266.

Enfin, l’indispensable site du jury pour accéder aux rapports des années précédentes et le couteau suisse de l’agrégatif qui est une source intarissable de développements.

Théorie de Lie

Une série d’exposés que j’ai été amené à présenter pendant mon année de M2 :

• Systèmes de racines.
• Classification des algèbres de Lie semi-simples.
• Représentations de plus haut poids.
• Groupes de Lie compacts.
• Représentations des groupes de Lie compacts.
• Representations of \(\mathrm{SU}(2)\), \(\mathrm{SO}(3)\), \(\mathrm{O}(3)\), \(\mathrm{U}(2)\) and \(\mathrm{O}(2)\).
• Le théorème de Borel-Weil.

Autres

Un mémoire de M1 sur les groupes quantiques localement compacts écrit dans une autre vie sous la direction de Victor Gayral : Sur une généralisation de la dualité de Pontryagin.